By A Guichardet

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A Course of Higher Mathematics: International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, Volume 62

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ALGÈBRES DE GROUPES, FONCTIONS DE TYPE POSITIF § 1. 7. FONCTIONS CONTINUES DE TYPE POSITIF (fctp). Définition. Une fonction continue f sur un GLCC G est dite de type positif si pour toute famille finie s 1 , ••• , sn d'éléments de G, la matrice de coefficients (/(s;sj 1 )) est positive; c'est-à-dire si, pour toute famille c 1 , ••• , en de nombres complexes, on a · n L: c;0/(s;sj 1 ) ~O. i,j= 1 Prenant en particulier n = 2, s 1 = e et s2 = s, on voit que f 1 (s) 1 ~ f (e) donc ·toute fonction continue de type positif f est bornée et vérifie 11/11 00 =f(e); on verra au cor.

I'~rt (pour une définition précise de la notion de catégorie, ALGÈBRES DE GROUPES, FONCTIONS DE TYPE POSITIF 17 voir par exemple [19]) ; en prenant des groupes plus particuliers, mais en conservant les mêmes morphismes, on obtient des souscatégories : celles des groupes compacts commutatifs, des groupes discrets commutatifs, des groupes finis commutatifs, notées respectivement <§CC~, <§~~. <§ffe~. •. , Gn admet une somme et un produit : à savoir le produit direct habituel ; ceci signifie d'une part que si on a un GLCC H et des morphismes continus u; : G;-+ H, il existe un morphisme continu unique u : llG;-+ H tel que u o V; = u; pour tout i (vi = morphisme canonique Gi-+ llGi) ; et d'autre part que si on a un GLCC H' et des morphismes continus ui : H'-+ Gi, il existe un morphisme continu unique u' : H'-+ llGi tel que vi o u' = ui pour tout i (vi = morphisme canonique llG;-+ G;).

Ds 1 J = 1 ~ Il J(ffeh) (x). dx ffe h 112. Il u 112 = Il J lî L 2 (G) (th. 2) h 112. e. W = ffew. 8. DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES FONDAMENTAUX. 7. Soit V un voisinage compact symétrique de l'élément neutre de G tel que v2 Xo c G - F; soient

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