By J. Sander et al.

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N (j) det αk (σ(1)) = σ∈Sn sgn(σ) · α1 (σ(1)) α1 = σ∈An (σ(2)) · α2 · . . · αn(σ(n)) − · . . · αn(σ(n)) (σ(1)) α1 σ∈An · . . · αn(σ(n)) =: G − U , wobei Sn die symmetrische Gruppe der Ordnung n! (Sn = Menge aller Permutationen von {1, 2, . . , n}) und An die alternierende Gruppe der Ordnung 21 n! (An = Menge aller geraden Permutationen von {1, 2, . . , n}) bezeichnen. Offenbar sind G, U ∈ ucke in den α1 , α2 , . . , αn A. Außerdem sind G + U und G · U symmetrische Ausdr¨ ¨ (das Vertauschen von αi ←→ αj f¨ uhrt nur zu einer Anderung der Reihenfolge der Summanden von G bzw.

41 nicht von der gew¨ahlten Ganzheitsbasis B ab). 43 √ Sei D ∈ Z \ {0, 1} quadratfrei, und sei F := Q( D); dabei heißt D Radikand von F . Dann gilt   D f¨ ur ∆F =  4D f¨ ur und   Z OF =  √ + D) √ Z[ D] 1 (1 2 D ≡ 1 mod 4, D ≡ 2, 3 mod 4, f¨ ur ∆F ≡ D ≡ 1 mod 4, f¨ ur ∆F ≡ 0 mod 4 (⇐⇒ D ≡ 2, 3 mod 4). Beweis: Wegen [F : Q] = 2 hat OF eine Ganzheitsbasis der Gestalt {1, α} f¨ ur ein √ a+b D ∈F α= c mit ggT(a, b, c) = 1 und a, b, c ∈ Z, c > 0. Ist B = {1, α, α2 , . . 34 (mit αj := Θj (α)) discr (B) = det(Θj (αi−1 ))2 = 1≤i

Offenbar l¨asst sich jedes σ ∈ F schreiben als σ = r1 + r2 √ D ε r1 , r 2 ∈ Q . 50 f¨ ur norm-euklidische Ringe ist ¨aquivalent zu: F¨ ur √ alle σ ∈ Q( D) existiert ein β ∈ OF mit |NF (σ − β)| < 1 . 43 haben wir also ein √ 1 β = (x + y D) ∈ OF ε (x, y ∈ Z) zu finden derart, dass (∗) |NF (σ − β)| = r1 − x ε 2 − 1 (r2 − y)2 D < 1 . ε2 Wir nehmen an, dass (∗) bei gegebenem r1 , r2 ∈ Q f¨ ur alle x, y ∈ Z verletzt ist. A. k¨onnen wir in (∗) voraussetzen, dass 0 ≤ ri ≤ 1/2 f¨ ur i = 1, 2 (ansonsten ersetzen wir x, y durch geeignete x , y ).

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